Александр Гребенкин родился в 1982 году в Мысках, в 2002-м окончил Иркутский военный авиационный инженерный институт с присвоением квалификации «техник» по специальности «Техническая эксплуатация транспортного радиоэлектронного оборудования».
С 2002-го по 2018 год Гребенкин проходил службу на авиабазе Кубинка в Московской области. Поначалу он был техником и инженером расчета подготовки самолетов к полетам по РЭО пилотажной группы «Стрижи» (в/ч 54876), а с ноября 2009 года по январь 2011 года — инженером и начальником группы регламента и ремонта в/ч 45809. В январе 2011 года Гребенкин был назначен начальником группы технико-эксплуатационной части 237-го Центра показа авиационной техники имени И. Н. Кожедуба (в/ч 62632-И), ему присвоено воинское звание майор.
В 2017-м Гребенкин подал заявление на участие в отборе в отряд космонавтов, в 2018-м — получил статус кандидата в космонавты, в 2021-м — был назначен на должность космонавта-испытателя отряда космонавтов Роскосмоса.
